Фокусы

Определение. Фокусами называются такие две точки, сумма расстояний от которых до любой точки эллипса есть постоянная величина.

F₁, F₂ – фокусы.   F₁ = (c; 0);    F₂(-c; 0)

с – половина расстояния между фокусами;

a – большая полуось;

b – малая полуось.

   Теорема. Фокусное расстояние и полуоси эллипса связаны соотношением:

a² = b² + c²

          и

r₁ + r₂ = 2a.

Определение. Форма эллипса определяется характеристикой, которая является отношением фокусного расстояния к большей оси и называется эксцентриситетом.

е = с/a

Т.к. с < a, то е < 1.

Определение. Величина k = b/a называется коэффициентом сжатия эллипса, а величина 1 – k = (a – b)/a называется сжатием эллипса.

Коэффициент сжатия и эксцентриситет связаны соотношением: k² = 1 – e².

Если a = b (c = 0, e = 0, фокусы сливаются), то эллипс превращается в окружность.

Теорема. Для произвольной точки М(х, у), принадлежащей эллипсу верны соотношения:

r₁ = a – ex,   r₂ = a + ex

Директрисы

 С эллипсом связаны две прямые, называемые директрисами. Их уравнения:

 x = a/e;   x = -a/e

            Теорема. Для того, чтобы точка лежала на эллипсе, необходимо и достаточно, чтобы отношение расстояния до фокуса к расстоянию до соответствующей директрисы равнялось эксцентриситету е.