Гипербола
Определение. Гиперболой называется
множество точек плоскости, для которых модуль разности
расстояний от двух данных точек, называемых фокусами есть
величина постоянная, меньшая расстояния между фокусами.
По определению |r1
–
r2|=
2a.
F1,
F2
– фокусы гиперболы.
F1F2
= 2c.
Выберем на
гиперболе произвольную точку М(х, у). Обозначим с2
– а2 =
b2
(геометрически эта величина – меньшая полуось). Каноническое уравнение гиперболы 
Гипербола
симметрична относительно середины отрезка, соединяющего фокусы и
относительно осей координат.
Ось 2а называется действительной осью гиперболы.
Ось 2b
называется мнимой осью гиперболы
Гипербола
имеет две асимптоты, уравнения которых 
Эксцентриситет гиперболы
Определение.
Отношение е = с/а называется
эксцентриситетом
гиперболы, где с – половина
расстояния между фокусами, а – действительная полуось.
С учетом того, что с2 = а2 +
b2, с > а, а значит, для гиперболы e > 1
Если а =
b,
e = V2, гипербола при этом называется равнобочной (равносторонней).
Директрисы гиперболы
Определение.
Две прямые, перпендикулярные действительной оси гиперболы и
расположенные симметрично относительно центра на расстоянии a/e
от него, называются директрисами гиперболы. Их уравнения:  Теорема. Если
r –
расстояние от произвольной точки М гиперболы до какого- либо
фокуса,
d –
расстояние от той же точки до соответствующей этому фокусу
директрисы, то отношение
r/d
– величина постоянная, равная эксцентриситету.
Парабола
Определение. Параболой называется множество
точек плоскости, каждая из которых находится на одинаковом
расстоянии от данной точки, называемой фокусом, и от данной
прямой, называемой директрисой и не проходящей через фокус.
Расположим начало координат посередине между фокусом и
директрисой.
Величина р (расстояние от фокуса до директрисы) называется
параметром параболы. Выведем каноническое уравнение
параболы.
Из геометрических соотношений:
AM =
MF;
AM =
x +
p/2;
MF2 = y2 + (x – p/2)2
(x + p/2)2 = y2 + (x – p/2)2
x2 +xp + p2/4 = y2 + x2
– xp + p2/4
y2 = 2px
Уравнение
директрисы:
x =
-p/2.
Пример 8.
На параболе у2 = 8х найти точку, расстояние которой
от директрисы равно 4.
Из уравнения параболы получаем, что р = 4.
r =
x +
p/2
= 4; следовательно:
x
=
2;
y2
= 16;
y =
±4.
Искомые точки:
M1(2;
4),
M2(2;
-4).
| 
