Уравнение прямой по точке и вектору нормали

Определение. В декартовой прямоугольной системе координат вектор с компонентами (А, В) перпендикулярен прямой , заданной уравнением Ах + Ву + С = 0.

Пример. Найти уравнение прямой, проходящей через точку А(1, 2) перпендикулярно вектору n (3, -1)

Составим при А = 3 и В = -1 уравнение прямой: 3х – у + С = 0. Для нахождения коэффициента С подставим в полученное выражение координаты заданной точки А.

Получаем: 3 – 2 + C = 0, следовательно С = -1.

Уравнение прямой, проходящей через две точки

            Пусть в пространстве заданы две точки M₁(x₁, y₁, z₁) и M₂(x_2, y₂, z₂), тогда уравнение прямой, проходящей через эти точки:

         Если какой- либо из знаменателей равен нулю, следует приравнять нулю соответствующий числитель.

            На плоскости записанное выше уравнение прямой упрощается:

Дробь = k называется угловым коэффициентом прямой.

Пример. Найти уравнение прямой, проходящей через точки А(1, 2) и В(3, 4).

 Применяя записанную выше формулу, получаем:

y-2 =[ (4-2)/(3-1)] (x-1)

y-2 = x-1

y = x+1

Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту

   Если общее уравнение прямой Ах + Ву + С = 0 привести к виду:

   y = (-Ax -C) / B = (-A/B) x - (C/B)

 уравнением прямой с угловым коэффициентом k.

Уравнение прямой по точке и направляющему вектору

            По аналогии с пунктом, рассматривающим уравнение прямой через вектор нормали можно ввести задание прямой через точку и направляющий вектор прямой.

            Определение. Каждый ненулевой вектор q(a₁, a₂), компоненты которого удовлетворяют условию Аa₁ + Вa₂ = 0 называется направляющим вектором прямой

Ах + Ву + С = 0.

            Пример. Найти уравнение прямой с направляющим вектором q(1, -1) и проходящей через точку А(1, 2).

            Уравнение искомой прямой будем искать в виде: Ax + By + C = 0. В соответствии с определением, коэффициенты должны удовлетворять условиям:

1×A + (-1)×B = 0, т.е.   А = В.

            Тогда уравнение прямой имеет вид: Ax + Ay + C = 0, или x + y + C/A = 0.

            при х = 1, у = 2 получаем С/A = -3, т.е. искомое уравнение:

х + у - 3 = 0

Нормальное уравнение прямой

            Если обе части уравнения Ах + Ву + С = 0 разделить на число 

которое называется нормирующем множителем, то получим

xcosj + ysinj - p = 0 – нормальное уравнение прямой.

Знак ± нормирующего множителя надо выбирать так, чтобы m×С < 0.

р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а j - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.

Уравнение прямой в отрезках 

Если в общем уравнении прямой Ах + Ву + С = 0 С≠0, то, разделив на –С, получим: 

   (-A/C) x - (B/C) y = 1

Обозначим:

   a = -C/A

   b = -C/B

Получим уравнение в отрезках:

Геометрический смысл коэффициентов в том, что коэффициент а является координатой точки пересечения прямой с осью Ох, а b – координатой точки пересечения прямой с осью Оу.

Cледует отметить, что не каждую прямую можно представить уравнением в отрезках, например, прямые, параллельные осям или проходящие через начало координат.

Пример 1. 

Дано общее уравнение прямой 12х – 5у – 65 = 0. Требуется написать различные типы уравнений этой прямой.

Пример 2. 

Прямая отсекает на координатных осях равные положительные отрезки. Составить уравнение прямой, если площадь треугольника, образованного этими отрезками равна 8 см².

 Уравнение прямой имеет вид: x/a + y/b = 1           

a = b = 1;     ab/2 = 8;          a = 4; -4.

a = -4 не подходит по условию задачи.

Итого:  x/4 + y/4 = 1      или х + у – 4 = 0.

Пример 3. 

Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(-2, -3) и начало координат.

Угол между прямыми на плоскости

            Определение. Если заданы две прямые y = k₁x + b₁,  y = k₂x + b₂, то острый угол между этими прямыми будет определяться как

Две прямые параллельны, если k₁ = k₂.

Две прямые перпендикулярны, если k₁ = -1/k₂.

            Теорема. Прямые Ах + Ву + С = 0 и А₁х + В₁у + С₁ = 0 параллельны, когда пропорциональны коэффициенты А₁ = lА,  В₁ = lВ. Если еще и С₁ = lС, то прямые совпадают.

            Координаты точки пересечения двух прямых находятся как решение системы  уравнений этих прямых.

Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данной прямой

            Определение. Прямая, проходящая через точку М₁(х₁, у₁) и перпендикулярная к прямой у = kx + b представляется уравнением:

Пример 4. 

Определить угол между прямыми: y = -3x + 7;  y = 2x + 1.

Пример 5. 

Показать, что прямые 3х – 5у + 7 = 0 и 10х + 6у – 3 = 0 перпендикулярны.

Находим: k1 = 3/5,    k2 = -5/3,  

k1k2 = -1, следовательно, прямые перпендикулярны.

Пример 6. 

Даны вершины треугольника А(0; 1), B(6; 5), C(12; -1). Найти уравнение высоты, проведенной из вершины С.