| Статистика |
Онлайн всего: 1 Гостей: 1 Пользователей: 0 |
|
Болтянский В. Г., Савин А .П. Беседы о математике. Книга 1. Дискретные объекты
|
| 30.05.2010, 22:16 |
ОГЛАВЛЕНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
ВВЕДЕНИЕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Беседа 1. Предмет математики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1. Мнения о пользе математики. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2. Понятия математики и их возникновение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3. Некоторые виды абстракции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
4. Многоступенчатые абстракции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
5. Пространственные и пространственноподобные формы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
6. Количественные отношения реального мира . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Глава I. МНОЖЕСТВА И ОТОБРАЖЕНИЯ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Беседа 2. Конечные и бесконечные множества. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
7. Множество и его элементы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
8. Взаимно однозначное соответствие. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
9. Счетные множества . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
10. Понятие мощности множества . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Беседа 3. Операции над множествами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
11. Пересечение множеств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
12. Объединение множеств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
13. Дополнение множеств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
14. Произведение множеств. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
Беседа 4. Отображения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
15. Общее понятие отображения и школьная математика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
16. Некоторые виды отображений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
17. Обратное отображение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
18. Композиция отображений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
19. Классификация . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
Беседа 5. Упорядоченные множества . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
20. Понятие упорядоченного множества. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
21. Минимальные элементы и математическая индукция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
22. Трансфинитные числа и аксиома выбора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
Глава II. КОМБИНАТОРИКА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
Беседа 6. Размещения, сочетания и родственные задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
23. Размещения с повторениями. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
24. Системы счисления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
25. Размещения без повторений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
26. Сочетания без повторений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
27. Сочетания с повторениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
28. Бином Ньютона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
29. Производящие функции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
30. Принцип Дирихле. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
Беседа 7. События и вероятности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
31. События . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
32. Классическое понятие вероятности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
33. Свойства вероятности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
34. Условная вероятность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
35. Независимые события и серии испытаний. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
Беседа 8. Случайные величины. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
36. Математическое ожидание и дисперсия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
37. Нормальное распределение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
38. Закон больших чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
Беседа 9. Информация . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
39. Чет — нечет. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
40. Количество двоичных цифр . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
41. Задачи на взвешивание . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
42. Понятие об энтропии. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
Беседа 10. Комбинаторные задачи о графах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
43. Графы и их элементы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
44. Цепи и циклы в графах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
45. Плоские графы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
46. Формула Декарта—Эйлера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
47. Правильные многогранники и паркеты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
48. Проблема четырех красок. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
49. Ориентированные графы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
50. Конечные позиционные игры. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
51. Понятие о сетевом планировании . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
ГЛАВА III. РАССУЖДЕНИЯ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
Беседа 11. Теоремы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
52. Существование и общность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
53. Структура теоремы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
54. Отрицание . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
55. Необходимое и достаточное условие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
56. Конъюнкция и дизъюнкция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
Беседа 12. Понятие об аксиоматическом методе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
57. Возникновение аксиоматического метода в математике . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
58. Метрические пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
59. Коммутативные группы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
Беседа 13. Непротиворечивость, независимость, полнота . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
60. Непротиворечивость и понятие модели . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
61. Математические примеры моделей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
62. Построение аксиоматики геометрии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
63. Геометрия Лобачевского . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
64. Модель геометрии Лобачевского. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
65. Изоморфизм моделей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
66. Полнота аксиоматики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
Глава IV. ПОИСК РЕШЕНИЙ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
Беседа 14. Инсайт . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
67. Цикл озарения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
68. Сфера достижимости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
69. Анализ и синтез . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
70. Обратимый анализ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
71. Анализ — поиск решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
72. Поиск решения нестандартных задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
73. Соединение анализа с синтезом . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302
Беседа 15. Наглядность. Аналогия. Интуиция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306
74. Формула наглядности — изоморфизм плюс простота . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306
75. Наглядность и математическая эстетика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
76. Аналогия — общность аксиоматики. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320
77. Прогнозирование . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326
78. Несколько слов о математической интуиции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332
РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИЙ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335
|
|
Категория: Школьникам | Добавил: IrineK
| Теги:
|
| Просмотров: 1685 | Загрузок: 2
| Рейтинг: 0.0/0 |
Добавлять комментарии могут только зарегистрированные пользователи. [ Регистрация | Вход ] |
|
