По условию один из корней имеет вид 

[LATEX]z = 1+ib, b\in \mathbb{R}[/LATEX]

Подставим его в полином. Степени этого корня

[LATEX](1+ib)^4 = 1+4(ib)+6(ib)^2+4(ib)^3+(ib)^4[/LATEX] [LATEX](1+ib)^3 = 1+3(ib)+3(ib)^2+(ib)^3[/LATEX] [LATEX](1+ib)^2 = 1+2(ib)+(ib)^2[/LATEX]

С учетом множителей при степенях

[LATEX]1+4(ib)+6(ib)^2+4(ib)^3+(ib)^4[/LATEX] [LATEX]-2-6(ib)-6(ib)^2-2(ib)^3[/LATEX] [LATEX]12+24(ib)+12(ib)^2[/LATEX] [LATEX]-14+14(ib)[/LATEX] [LATEX]35[/LATEX] [LATEX]---------------------[/LATEX] [LATEX]32+8(ib)+12(ib)^2+2(ib)^3+(ib)4 = 0[/LATEX]

Получили уравнение для b

[LATEX]b^4-12b^2+32-2(ib)(b^2-4)=0[/LATEX] [LATEX](b^2-4)(b^2-8)-2(ib)(b^2-4)=0[/LATEX] [LATEX](b^2-4)(b^2-2ib-8)=0[/LATEX] [LATEX]b\in \mathbb{R}, b=\pm 2[/LATEX]

Два корня полинома найдены

[LATEX]z_{1,2} = 1\pm 2i[/LATEX]

Найдем произведение

[LATEX](z-z_1)(z-z_2)= (z-1-2i)(z-1+2i)=(z-1)^2+4=z^2-2z+5[/LATEX]

Разделим исходный полином на полученное произведение

[LATEX]\frac{z^4 - 2z^3 + 12z^2 - 14z + 35}{z^2-2z+5}=z^2+7[/LATEX]

Тогда оставшиеся два корня

[LATEX]z_{3,4}=\pm 7i[/LATEX]